4. 자동제어 > 6. 자동 제어의 주파수 응답 해석

1. 자동 제어계의 주파수 전달 함수

 

1.1 진폭비 및 위상차

 

1) 전달 함수가 G(s)인 제어계에 주파수 w인 정현파 신호를 가했을 때 출력 신호의 정상값은 입력과 같은 정현파가 되며 진폭은 | G(jw) | 배가 되고 위상은 ∠ G(jw) 만큼 벗어나게 된다

 

2) 진폭비  | G(jw) | 와 위상차 ∠ G(jw) 는 다음의 식으로 구할 수 있다.

 

진폭비  | G(jw) |  = root (a^2 + b^2)

 

위상차 ∠ G(jw) = tan^-1 b / a

 

 

1.2 벡터 궤적

 

1) 정의: 주파수 w가 0에서 무한대까지 변화할 때 G(jw)의 크기와 위상각의 변화를 극좌표에 그린 것을 벡터 궤적이라고 한다.

 

 

2) 비례 요소: 비례 요소는 주파수의 변화와 관계 없이 일정한 상수 K가 실수축상에 점의 형태로 그려진다.

 

G(s) = K (주파수와 무관)

 

 

3) 미분 요소: G(s) = s

 

미분 요소 G(jw) = jw는 w가 0에서 무한대까지 변화할 때 허수축 상에 위로 올라가는 직선이다.

 

G(jw) = jw | w=0 = 0

 

G(jw) = jw | w=무한대 = j 무한대

 

 

4) 적분 요소 G(s) = 1/s

 

적분요소 G(jw) = 1 / jw 는 w가 0에서 무한대까지 변화할 때 허수축 상 마이너스무한대 에서 0으로 올라가는 직선이다.

 

G(jw) = 1/jw | w=0 = -j 무한대

 

G(jw) = 1/jw | w=무한대 = 0

 

 

5) 비례 미분 요소 G(s) = 1 + Ts

 

비례 미분 요소 G(jw) = 1 + jwT 는 w가 0에서 무한대까지 변화할 때 (1, j0)인 점에서 위로 올라가는 직선이다.

 

G(jw) = 1+ jwT | w=0 = 1

 

G(jw) = 1 + jwT | w=무한대 = 1 + j 무한대

 

 

6) 1차 지연 요소 G(s) = 1 / (1 + Ts)

 

1차 지연 요소 G(jw) = 1 / (1 + jwT) 는 w가 0에서 무한대까지 변화할 때 반원 형태이다.

 

G(jw) = 1 / (1+ jwT) | w=0 = 1

 

G(jw) = 1 / (1 + jwT) | w=무한대 = 0

 

 

1.3 제어계의 형태에 따른 벡터 궤적

 

G(s) = 1 / s^k (s+a) (s+b) (s+c)

 

1) s=0 : 0형 제어계로서 4 상한에 그려진다. (분모 괄호 항의 개수 만큼 위치)

 

2) s=1: 1형 제어계로서 3상한에 그려진다. (분모 괄호 항의 개수 만큼 위치)

 

3) s=2: 2형 제어계로서 2상한에 그려진다. (분모 괄호 항의 개수 만큼 위치)

 

 

2. 보드 선도

 

2.1 보드 선도의 정의

 

1) 주파수 전달 함수를 이용하여 주파수 변화에 따른 제어 장치의 크기와 위상각을 가로축에는 주파수 w를 세로축에는 이득 | G(jw) |로 하여 표시한 것

 

2) 보드 선도의 이득 여유 gm > 0, 위상 여유 Φm > 0의 조건에서 제어 장치의 동작이 안정하다. 

 

2.2 보드 선도 작성 시 필요한 사항

 

1) 이득: g = 20 log | G(s) |  [dB]

 

2) 이득 여유 (GM: Gain Margin) : GM = 20 log 1 /  | G(s) |  [dB]

 

3) 절점 주파수:  보드선도가 경사를 이루는 실수부와 허수부가 같아지는 주파수 이다. 

 

4) 경사: g = K log w [dB] 에서 K값이 보드 선도의 경사를 의미한다.