4. 제어 공학 > 7. 제어계의 안정도

1. 루드 (Routh) 표에 의한 안정도 해석

 

1.1 제어계의 안정 조건

 

특성방정식 a0 s^3 + a1 s^2 + a2 s + a3 = 0

 

1) 특성 방정식의 모든 계수의 부호가 같을 것

 

2) 특성 방정식의 모든 차수가 존재할 것

 

3) 루드표를 작성하여 제 1열의 부호 변화가 없을 것 ( 루드표 1열의 부호 변화 개수는 s 평면의 우반 평면에 존재하는 근의 수를 의미)

 

1.2 루드표 작성 및 안정도 판정

 

1) 특성방정식 a0 s^3 + a1 s^2 + a2 s + a3 = 0 에서 루드표를 작성하면 다음과 같다

 

차수	제 1열 계수	제 2열 계수	제 3열 계수
s^3	a0	a2	0
s^2	a1	a3	0
s^1	A= (a1 a2 - a0 a3 ) / a1	B=  (a1 0 - a0 0 ) / a1	0
s^0	C=  (A a3 - a1 B ) / a1	D=  (A 0 - a1 0 ) / A	0

 

2) 루드표에서 제 1열의 결과들의 부호가 모두 +가 되어 부호 변화가 없어야 제어계는 안정하다. (부호변화가 한번이라도 발생하면 제어계는 불안정)

 

 

2. 나이퀴스트 (Nyquist) 선도에 의한 안정도 해석

 

2.1 나이퀴스트에 의한 안정도 판정의 특징

 

1) 제어계의 안정도에 관하여 루드-홀비쯔 판정법과 같은 정보를 제공한다.

 

2) 제어 시스템의 안정도를 개선할 수 있는 방법을 제시한다.

 

3) 제어 시스템의 주파수 영역 응답에 대한 정보를 제공한다.

 

 

2.2 나이퀴스트 선도에서 안정도 판정 방법

 

1) 나이퀴스트 선도의 경로가 시계 방향인 경우 

 

그래프가 (-1, j0) 에 걸친 경우 임계상태

 

그래프가 (-1, j0)의  오른쪽에 있는 경우 안정

 

그래프가 (-1, j0)의  왼쪽에 있는 경우 불안정

 

 

2) 나이퀴스트 선도의 경로가 반시계 방향인 경우 

 

그래프가 (-1, j0) 에 걸친 경우 임계상태

 

그래프가 (-1, j0)의  오른쪽에 있는 경우 불안정

 

그래프가 (-1, j0) 왼쪽에 있는 경우 안정

 

 

2.3 나이퀴스트 선도의 이득 여유 및 위상 여유

 

1) 이득 여유 (GM) 나이퀴스트 선도에서 임계점을 기준으로 안정한 영역의 크기 여유

 

GM = 20 log | 1/GH |

 

2) 위상 여유 (PM) : 나이퀴스트 선도에서 임계각을 기준으로 안정한 영역의 위상 여유

 

3) 제여계가 안정하기 위한 여유 범위

 

GM: 4~12 dB

 

PM = 30 ~ 60 도