4. 제어공학 > 10. 제어계의 상태 해석법
1. 제어계의 상태 방정식
1) 상태 방정식의 정의: 제어 장치의 동작 상태를 미분 방정식을 이용하여 벡터 행렬로 표현한 것
2) 제어 시스템의 미분 방정식 및 상태 방정식
a. 2차 제어 시스템
-2차 제어 시스템이란 상태 방정식이 2차 미분 방정식으로 표현되는 제어계를 말한다.
-상태방정식: d^2y(t) / dt^2 + a dy(t) / dt + b y(t) = c r(t)
-벡터행렬 A = [0 1] B = [0]
[-b -a] [c]
b. 3차 제어 시스템
-3차 제어 시스템이란 상태 방정식이 3차 미분 방정식으로 표현되는 제어계를 말한다.
-상태방정식: d^3y(t)/dt^3 + a d^2y(t) / dt^2 + b dy(t) / dt + c y(t) = d r(t)
-벡터행렬 A = [0 1 0] B = [0]
[0 0 1] [0]
[-c -b -a] [d]
2. 제어 시스템의 과도 응답 (천이 행렬)
1) 천이 행렬: 제어 장치의 상태 방정식 x(t)' = A x(t) + Bu(t)의 해를 구하여 제어계의 급격한 과도 상태에서의 제어 장치의 특성을 파악하기 위한 행렬식을 말한다.
2) 천이 행렬 계산 방법
[sI - A] 행렬을 계산한다.
[I] 는 단위 행렬 [1 0]
[0 1]
A는 벡터 행렬을 의미함
[sI - A] 행렬의 역행렬 [sI - A] ^-1을 계산한다.
역라플라스 변환을 이용하여 시간 함수로 표현된 천이 행렬을 계산한다.
Φ(t) = ℒ^-1 ( [sI - A] ^-1 )
3. 제어 시스템의 제어 및 관측 가능성 판정
1) 제어 가능성 판정 방법
-제어 창치의 상태방정식을 나타내는 시스템 행렬 A, B, C가 주어졌을 때 [B AB] 행렬을 계산한다.
- [B AB] 행렬의 크기가 0이 아니면 이 제어 장치는 제어 가능한 가제어성 제어 장치이다.
- [B AB] 행렬의 크기가 0이면 이 제어 장치는 제어 불가능한 제어 장치이다.
2) 관측 가능성 판정 방법
- 제어 창치의 상태방정식을 나타내는 시스템 행렬 A, B, C가 주어졌을 때 [ C ] 행렬을 계산한다.
[CA]
-행렬의 크기가 0이 아니면 관측 가능한 가관측성 제어계이다.
-행령의 크기가 0이면 관측 불가능한 제어계이다.
4. z 변환
1) z 변환의 정의
-라플라스 변환은 연속적인 선형 미분 방정식을 해석하는 것에만 적용 가능한 수학 기법이다.
-z변환은 라플라스 변환으로는 해석이 불가능한 불연속 시스템인 차분 방정식이나 이산 시스템을 해석하는데 사용하는 수학기법이다.
2) 주요 z 변환 공식
| 시간 함수 f(t) | 라플라스 변환 F(s) | z 변환 F(z) |
| 임펄스함수 δ(t) | 1 | 1 |
| 단위계단함수 u(t) = 1 | 1/s | z / (z-1) |
| 속도 함수 t | 1/s^2 | Tz / (z-1)^2 |
| 지수함수 e^-at | 1/(s+a) | z / (z - e^-aT) |
3) 변환의 초기값 정리, 최종값 정리
-초기값 정리
lim f(t) = lim s F(s) = lim F(z)
t->0 s-> ∞ z-> ∞
-최종값 정리
lim f(t) = lim s F(s) = lim (1 - z^-1) F(z)
t-> ∞ s-> 0 z->1
4) z 평면상에서 제어계의 안정도 판정 방법
z 평면상에서의 안정도 판정법은 반지름의 크기가 1인 단위원을 기준으로 하여 다음과 같이 안정도 여부를 결정한다.
-안정조건: 단위원 내부에 극점이 모두 존재하면
-불안정 조건: 단위원 외부에 극점이 하나라도 존재하면
-임계 상태: 단위원에 접하여 극점이 존재하면