5. 회로이론 > 3. 교류 기본 회로

1. 회로 기본 소자의 특성

 

1.1 저항 회로 R [옴]

 

1) 전류

 

i = v / R = ( Vm / R ) sin wt

 

위상: 전압과 전류의 위상이 같다 (동상 소자)

 

1.2 인덕턴스 회로 L [H]

 

1) 리액턴스

 

Z' = jwL [옴] = jXL [옴] = XL 각 90도 [옴]

 

XL: 유도성 리액턴스

 

2) 전류

 

i = v / X = ( Vm sin wt ) / XL 각 90도 = ( Vm / XL ) sin (wt - 90도)

 

3) 위상: 회로의 인가 전압에 비해 전류의 위상이 90도 늦다. (지상 소자)

 

1.3 커패시턴스 (정전용량) 회로 C [F] 

 

1) 리액턴스 

 

Z' = 1 / jwC [옴] = - jXC [옴] = XC 각 -90도 [옴]

 

XC: 용량성 리액턴스

 

2) 전류

 

i = v / X = ( Vm sin wt ) / XC 각 -90도 = ( Vm / XC ) sin (wt + 90도)

 

3) 위상: 회로의 인가 전압에 비해 전류의 위상이 90도 빠르다. (진상 소자)

 

 

2. 직렬 회로

 

2.1 저항과 인덕턴스의 직렬 회로 

 

1) 임피던스

 

Z' = R + jwL [옴]  =  |Z| 각 θ [옴]

 

크기 :  |Z|  = root ( R^2 + XL^2 )

 

위상: θ  = tan ^-1 (XL / R)

 

2) 전류

 

i = v / Z = ( Vm sin wt ) / |Z| 각 θ  = ( Vm / |Z| ) sin (wt - θ )

 

위상: 회로의 인가 전압에 비해 전류의 위상이 θ 만큼 늦다. (지상 회로)

 

 

2.2 저항과 커패시턴스의 직렬 회로 

 

1) 임피던스

 

Z' = R - 1/ jwC [옴]  =  |Z| 각 -θ [옴]

 

크기 :  |Z|  = root ( R^2 + XC^2 )

 

위상: θ  = tan ^-1 (-XC / R)

 

2) 전류

 

i = v / Z = ( Vm sin wt ) / |Z| 각 -θ  = ( Vm / |Z| ) sin (wt + θ )

 

위상: 회로의 인가 전압에 비해 전류의 위상이 θ 만큼 빠르다. (진상 회로)

 

 

2.3 저항과 인덕턴스 그리고 커패시턴스의 직렬 회로 

 

1) 임피던스

 

Z' = R + jwL  - 1/ jwC [옴]  = R + j(wL -1/wC) [옴]  =  |Z| 각 +-θ [옴]

 

크기 :  |Z|  = root ( R^2 + X^2 ) , X = XL -XC [옴]

 

위상: θ  = tan ^-1 (X / R) , XL > XC 인 경우 + θ , XL < XC 인 경우 -θ

 

2) 전류

 

i = v / Z = ( Vm sin wt ) / |Z| 각 +-θ  = ( Vm / |Z| ) sin (wt -+ θ )

 

위상: 회로의 인가 전압에 비해 전류의 위상이 θ 만큼 빠르다. (진상 회로)

 

 

3. 병렬 회로

 

3.1 저항과 인덕턴스의 병렬 회로 

 

1) 어드미턴스

 

Y' = 1/R + 1/jwL [옴]  =  |Y| 각 -θ [모]

 

크기 :  |Y|  = root ( (1/R)^2 + (1/XL)^2 )

 

위상: θ  = tan ^-1 (R / XL)

 

2) 전류

 

i = v Y = ( Vm  |Y| ) sin (wt - θ )

 

위상: 회로의 인가 전압에 비해 전류의 위상이 θ 만큼 늦다. (지상 회로)

 

 

3.2 저항과 커패시턴스의 직렬 회로 

 

1) 어드미턴스

 

Y' = 1/R + 1/ jwC [옴]  =  |Y| 각 θ [옴]

 

크기 :  |Y|  = root ( (1/R)^2 + (1/XC)^2 )

 

위상: θ  = tan ^-1 (R/XC)

 

2) 전류

 

i = v  Y = ( Vm  |Y| ) sin (wt + θ )

 

위상: 회로의 인가 전압에 비해 전류의 위상이 θ 만큼 빠르다. (진상 회로)

 

 

4. R-X의 직렬 및 병렬 회로에서의 역률 및 무효율

 

4.1 저항과 리액턴스의 직렬 회로

 

1) 역률

 

cos θ = R / |Z|  = R / root (R^2 + X^2)

 

2) 무효율

 

sin θ = |Z| / X  = X / root (R^2 + X^2)

 

 

4.2 저항과 리액턴스의 병렬 회로

 

1) 역률

 

cos θ = 1/R / |Y|  = 1/R / root ((1/R)^2 + (1/X)^2) = X / root (R^2 + X^2)

 

2) 무효율

 

sin θ = 1/X / |Y|  = 1/X / root ((1/R)^2 + (1/X)^2) = R / root (R^2 + X^2)

 

 

5. RLC 직렬 및 병렬 회로에서의 공진 현상

 

5.1 R-L-C 직렬 회로

 

1) 공진조건

 

유도성 리액턴스 (XL) 과 용량성 링개턴스 (XC)가 같아지는 조건

 

XL = XC -> wL = 1/wC

 

공지 조건이 성립되면 유도성(지상) 특성과 용량성(진상) 특성이 서로 사왜되어 결국 회로에 작용하는 성질은 저항 특성 밖에 없게 된다. 

 

2) 공진 주파수

 

공진이 발생할 때의 주파수로서 위의 공진에서

 

wL = 1/wC -> 2pifL = 1/2pifC -> f = 1/ (2 pi root (LC) ) [Hz]

 

3) 공진 전류

 

RLC 직렬 회로에 흐르는 전류는

 

i = v / |Z|   = Vm sin wt / root ( R^2 + X^2)  [A]

 

공진 회로에 흐르는 전류는

 

i0 = v / R = Vm sin wt / R [A]

 

이므로 |Z| > R의 관계에 의하여 공진 시 회로의 전류는 최대로 증대된다.

 

4) 전압 확대비 (선택도, 첨예도)

 

Q = VL / V = VC/V = (1/R)  root (L/C) [배] 

 

 

5.2 R-L-C 병렬 회로

 

1) 공진조건

 

유도성 리액턴스 (XL) 과 용량성 링개턴스 (XC)가 같아지는 조건

 

XL = XC -> wL = 1/wC

 

공지 조건이 성립되면 유도성(지상) 특성과 용량성(진상) 특성이 서로 사왜되어 결국 회로에 작용하는 성질은 저항 특성 밖에 없게 된다. 

 

2) 공진 주파수

 

공진이 발생할 때의 주파수로서 위의 공진에서

 

wL = 1/wC -> 2pifL = 1/2pifC -> f = 1/ (2 pi root (LC) ) [Hz]

 

3) 공진 전류

 

RLC 병렬 회로에 흐르는 전류는

 

i = v Y  =   (R + j(wL - 1/wC))  Vm sin wt  [A]

 

공진 회로에 흐르는 전류는

 

i0 = v Y = (1/ R) sin wt [A]

 

이므로 |Y| > 1/R의 관계에 의하여 공진 시 회로의 전류는 최소로 감소된다.

 

4) 전류 확대비 (선택도, 첨예도)

 

Q = IL / I = IC/I = R  root (C/L) [배]