5. 회로 이론 > 12. 라플라스 변환

1. 라플라스 기본 변환

 

1.1 라플라스 변환과 필요성

 

1) 제어 장치는 시간 함수 f(t)를 인식하지 못하므로 제어 장치가 받아들일 수 있는 주파수 함수 F(jw) = F(S) 로 변환하여야 한다.

 

2) 라플라스 변환공식을 사용하여 시간 함수를 주파수 함수로 바꾼다.

 

F(S) = ∫ 0~ ∞ f(t) e^-st dt

 

 

2. 자주 쓰이는 라플라스 기본 변환 공식

 

라플라스 변환 공식을 이용하여 시간 함수를 주파수 함수로 바꾸면 다음과 같은 기본적인 라플라스 변환 결과식을 얻을 수 있다.

 

시간 함수 f(t)	주파수 함수 F(S)
임펄스 함수 δ (t)	1
단위 계단 함수 u(t) =1	1/s
속도 함수 t	1/s^2
가속도 함수 t^2	2! / s^3
지수 함수 e^at	1 / (s-a)
지수 함수 e^-at	1 / (s+a)
삼각 함수 sin wt	w / (s^2 + w^2)
삼각 함수 cos wt	s / (s^2 + w^2)

 

2. 라플라스 변환의 기본 정리

 

2.1 미적분 정리

 

1) 미분식의 라플라스 변환

 

ℒ (d/dt) =s

 

ℒ (d^2/dt^2) =s^2

 

2) 적분식의 라플라스 변환

 

ℒ ( ∫ dt ) = 1/s

 

2.2 시간 추이 (지연) 정리

 

ℒ[f(t-a)] = F(s) e^-as

 

ℒ[f(t)] = F(s) 이고 f(t) 를 시간 t의 양의 방향으로 a 만큼 이동한 함수 (시간이 지연된 함수) f(t-a) 에 대한 라플라스 변환이다.

 

2.3 복소 추이 정리

 

ℒ[ e^+-at  f(t)] = F(s -+ a) 

 

ℒ[f(t)] = F(s) 일 때  e^+-at  f(t) 에 대한 라플라스 변환이다.

 

2.4 초가값 정리, 최종값 정리

 

1) 초기값 정리

 

lim t->0 f(t) = lim s->  ∞  sF(s)

 

시간 함수가 t -> 0 시점에서 주파수 함수는 극한 즉 s-> ∞으로 향한다.

 

2) 최종값 정리

 

lim t-> ∞ f(t) = lim s->  0  sF(s)

 

시간 함수가 t -> ∞ 시점에서 주파수 함수는 최소 즉 s-> 0으로 향한다.

 

 

3. 라플라스 역변환

 

3.1 1차 함수의 부분분수 전개

 

1) 분모가 1차인 부분분수의 전개

 

F(s) = (s+c) / (s+a) (s+b) = A / (s+a)  + B / (s+b)

 

2) 계수 A, B를 구하는 방법

 

A =   (s+c) / (s+a) (s+b)  * (s+a) = (s+c) / (s+b) | s= -a  = (-a + c) / (-a + b)

 

B =   (s+c) / (s+a) (s+b)  * (s+b) = (s+c) / (s+a) | s= -b  = (-b + c) / (-b + a)

 

 

3.2 2차 함수의 부분분수 전개

 

1) 분모가 2차인 부분분수의 전개

 

F(s) = (s+c) / (s+a)^2 (s+b) = A / (s+a)^2  + B / (s+a) + C / (s+b)

 

2) 계수 A, B, C를 구하는 방법

 

A =   (s+c) / (s+a)^2 (s+b)  * (s+a)^2 = (s+c) / (s+b) | s= -a  = (-a + c) / (-a + b)

 

B =  d/ds { (s+c) / (s+a)^2 (s+b)  * (s+a)^2 =d/ds { (s+c) / (s+a) } 

    =( 1 * (s+b) - (s+c) *1 ) / (s+b)^2 | s=-a = ( (-a+b) - (-a+c) ) / (-a+b)^2

 

C =   (s+c) / (s+a)^2 (s+b)  * (s+b) = (s+c) / (s+a)^2 | s= -b  = (-b + c) / (-b + a)^2