5. 회로 이론 > 13. 전달 함수

1. 제어 시스템에서의 잔달 함수

 

1.1 전달함수의 정의

 

1) 전달 함수의 의미: 제어 시스템에서 전달함수는 제어창치의 입력 신호에 대한 출력 신호 비율이다. 

 

2) 전달 함수의 표현: 제어 장치의 입력 신호 R(s)에 대하여 출력 신호 C(s)가 나올 때의 전달함수이다.

 

G(s) = C(s) / R(s) = 출력을 라플라스 변환한 값 / 입력을 라플라스 변환한 값

 

 

1.2 전달 함수의 성질

 

1) 제어 시스템의 초기 조건은 0으로 한다.

 

2) 제어 시스템의 전달함수는 s만의 함수로 표시된다.

 

3) 전달 함수는 선형 시스템에만 적용된고 비선형 시스템에는 적용되지 않는다.

 

4) 전달 함수는 시스템 입력과 무관하다.

 

1.3 전달 함수의 종류

 

1) 비례요소

 

입력 신호 X(s)에 대하여 출력 신호 Y(s)가 어떤 이득 상수 K에 비례해 나타나는 제어창치의 전달 함수 요소이다.

 

C(s) = R(s) G(s)

 

G(s) = C(s)/ R(s) = K

 

2) 미분 요소

 

입력 신호 X(s)에 대하여 출력 신호 Y(s)가 어떤 미분 동작 Ks 에 의해 나타나는 제어창치의 전달 함수 요소이다.

 

C(s) = R(s) G(s)

 

G(s) = C(s)/ R(s) = Ks

 

 

3) 적분 요소

 

입력 신호 X(s)에 대하여 출력 신호 Y(s)가 어떤 적분 동작 K/s 에 의해 나타나는 제어창치의 전달 함수 요소이다.

 

C(s) = R(s) G(s)

 

G(s) = C(s)/ R(s) = K/s

 

 

4) 1차 지연 요소

 

입력 신호 X(s)에 대하여 출력 신호 Y(s)가 K / (Ts +1) 만큼 1차 함수 적으로 지연되어 나타나는  제어창치의 전달 함수 요소이다.

 

C(s) = R(s) G(s)

 

G(s) = C(s)/ R(s) = K/ (Ts +1)

 

 

5) 1차 지연 요소

 

입력 신호 X(s)에 대하여 출력 신호 Y(s)가 아무 영향도 받지 않는  제어창치의 전달 함수 요소이다.

 

C(s) = R(s) G(s)

 

G(s) = C(s)/ R(s) = K e^-Ls

 

 

2. 회로망에서의 전달 함수

 

2.1 회로망에서 전달 함수 산출법

 

1) 그림과 같은 회로의 출력 전압 Vo에 대한 전달 함수는 전압 부내 법칙에 의해 구한다.

 

Vo = R2 / (R1 + R2) * Vi

 

2) 전달 함수의 정의는 입력 신혼 Vi에 대한 출력 신호 Vo의 비율이므로 위 식을 입력과 출력비 식으로 나타낼 수 있다. 

 

G(s) = Vo / Vi  = R2 / (R1 + R2)

 

 

2.2 회로 요소의 임피던스 (Z [옴]) 표현

 

1) 인덕턴스

 

L [H]   -> ZL = jwL = sL [옴]

 

2) 정전 용량

 

C [F]   -> Zc = 1/ jwC = 1/sC  [옴]

 

 

3. 블록선도 및 신호 흐름 선도에서의 전달 함수

 

3.1 블록 선도에서의 전달 함수 산출법

 

1) 블록선도에서 전달 함수 G(s) 는 메이슨 공식을 적용하여 산출한다.

 

G(s) = C(s) / R(s) = 경로 / ( 1- 폐루프)

 

2) 블록선도에서 메이슨 공식을 적용하면

 

G(s) = C(s) / R(s) = G1 G2 / ( 1- (-G1 G2 G3 ) - G2 )  = G1 G2 / ( 1 + G1 G2 G3 - G2 )

 

 

3.2 신호 흐름 선도에서의 전달 함수 산출법

 

1) 신호 흐름선도에서도 전달 함수 G(s) 는 메이슨 공식을 적용하여 산출한다.

 

G(s) = C(s) / R(s) = 경로 / ( 1- 폐루프)

 

2) 신호 흐름 선도에서 메이슨 공식을 적용하면

 

G(s) = C(s) / R(s) = (1 * X1 * 1 * 1 + 1 * X2 * 1 ) / (1 - X1 * Y1) = (X1 + X2) / (1 - X1 Y1)

 

4. 블록 선도 및 신호 흐름 선도의 특수 경우

 

4.1 입력이 2개인 블록 선도에서의 전달 함수

 

1) 2중 입력 (R, U) 인 블록 선도에서 전체 전달 함수는 각 입력에 대한 전달 함수를 별도로 구한 후 두 결과를 더한다.

 

2) 블록선도에 메이슨 공식을 적용하면

 

C(s) / R(s) = G1 * G2 / (1 - (-G1*G2)) = G1 G2 / (1 + G1 G2)

 

C(s) / U(s) = G2 / (1 - (-G1*G2)) = G2 / (1 + G1 G2)

 

G(s) = C(s) / R(s)  + C(s) / U(s)  = G1 G2 / (1 + G1 G2) +  G2 / (1 + G1 G2)

 

 

4.2 경로에 접하지 않는 폐루프가 있는 신호 흐름선도에서의 전달 함수

 

1) 어떤 경로에 접하지 않는 폐루프가 있는 신호 흐름선도의 전달함수는 메이슨 공식을 적용한다.

 

C(s) / R(s) = (폐루프에 접하는 경로 + 폐루프에 접하지 않는 경로 * (1-폐루프) ) / ( 1-폐루프)

 

2) 위의 블록선도에 메이슨 공식을 적용하면

 

G(s) = C(s) / R(s) = ( G1 + G2 ( 1-G1H1) ) / (1 - G1 H1)

 

G2가 폐루프 G1H1에 접하지 않는 경로이다.

 

4.3 종속 접속인 신호 흘므 선도에서의 전달 함수

 

1) 직렬 종속 접속

 

a. G1, G2, G3가 서로 직렬로 종속적인 관계로 우선 각 전달 함수를 구한다.

 

G1 = G2 = G3  = a / (1 - ab)

 

b. 전체 전달 함수는

 

G = G1 G2 G3 = a / (1-ab)   * a / (1-ab) * a / (1-ab)  = a^3 / (1-ab)^3

 

2) 병렬 종속 접속

 

a. G1, G2, G3는 서로 병렬로 종속적인 관계로 마찬가지로 각 전달 함수를 구한다.

 

G1 = G2 = G3 = a / (1 - ab)

 

b. 전체 전달 함수는 

 

G = G1 + G2 + G3

 

=  a / (1-ab)   + a / (1-ab) + a / (1-ab)  = 3a / (1-ab)