6. 전기자기학 > 1. 벡터 해석

1. 벡터의 정의 

 

1.1 스칼라와 벡터의 차이점

 

1) 스칼라: 크리만을 가지는 것

 

예: 무게, 길이, 전압, 전류 등

 

2) 벡터: 크기 뿐만 아니라 방향도 가지고 있는 것

 

예: 전계, 속도, 가속도 등

 

1.2 벡터의 표현 방법 및 벡터의 도시 방법

 

1) 벡터의 표현 방법

 

스칼라 A와 구분하기 위하여 특이한 표시를 한다.

 

A' = bar A

 

2) 벡터의 성분 표시

 

A' = Aa에서

 

A: 크기, a: 방향

 

1.3 직각 좌표계

 

1) x, y, z 축이 서로 90도를 이루면서 공간 좌표를 표현하는 좌표계 해석 방법을 말한다.

 

2) 단위 벡터 (unit vector): 크기가 1을 가져서 어떤 양이나 값에 곱하더라도 워낼의 크기나 양에는 변화를 주지 않으면서 단지 방향만을 제시해 주는 벡터

 

3) 방향 벡터의 표현 방법

 

x축: ax 또는 i

y축: ay 또는 j

z축: az 또는 k

 

4) 벡터의 직각 좌표 표현의 예

 

A' = Az ax + Ay ay + Az az 또는 A' = Ax i + Ay j + Az k

 

Ax, Ay, Az는 x, y, z 방향의 각각 벡터 크기

 

1.4 벡터의 크기 계산 방법

 

1) 벡터 A' = Ax i + Ay j + Az k 의 크기는 다음과 같이 계산된다.

 

2) 벡터의 크기 | A | = A = root ( Ax^2 + Ay^2  + Az^2 )

 

1.5 단위 벡터 계산 방법

 

1) 다음과 같이 벡터를 벡터의 크기로 나누면 된다.

 

A' = Aa    -> a = A' / | A |

 

2) A' = Ax i + Ay j + Az k

 

a = A' / | A | = ( Ax ax + Ay ay ) / root ( Ax^2 + Ay^2 + Az^2)

 

2. 벡터의 연산

 

2.1 벡터의 덧셈과 뺄셈

 

1) 두 벡터가 주어졌을 때 두 벡터의 덧셈이나 뺄셈은 항상 같은 성분 끼리만 계산 하면 된다.

 

2) 벡터의 덧셈

 

A' + B' = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k

 

3) 벡터의 뺄셈

 

A' + B' = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k

 

2.2 벡터의 곱셈(적)

 

1) 두 벡터의 곱셈 방법에는 내적과 외적 두가지 방법이 있다.

 

2) 내적

 

- 두 벡터의 사이 각 안으로 곱하는 계산 방법

 

-벡터의 내적 계산은 두 벡터 사이의 각도를 구할 경우에 주로 사용된다.

 

-내적의 계산식: A' * B' = |A| |B| cos θ

 

-내적의 성질 (cos 0도 = 1, cos 90도 = 0)

 

i*i = 1

j*j = 1

k*k = 1

 

i*j = 0

j*k = 0

k*i = 0

 

3) 외적

 

- 두 벡터의 사이 각 바깥으로 곱하는 계산 방법

 

-벡터의 외적 계산은 두 벡터가 이루는 면적을 계산할 경우에 주로 사용된다.

 

-외적의 계산식: A' * B' = |A| |B| sin θ

 

-외적의 성질

 

i*i = 0

j*j = 0

k*k = 0

 

i*j = k

j*k = i

k*i = j

 

j*i = -k

k*j = -i

i*k = -j

 

 

3. 벡터의 미분

 

3.1 벡터의 미분 연산자 (nabla 또는 del)

 

1) 벡터를 미분하기 위한 편미분 계산식을 미분 연산자라 한다.

 

2) 미분 연산자 표현 방법

 

∇ =  ∂ /  ∂x i + ∂ /  ∂y j +  ∂ /  ∂z k

 

3.2 스칼라 V의 구배 (기울기): grad V

 

1) 어떤 스칼라 양의 기울기를 구할 때 스칼라를 벡터로 변환하는데 쓰인다.

 

2) grad V 계산 방법

 

grad V = ∇ V =  (∂ /  ∂x i + ∂ /  ∂y j +  ∂ /  ∂z k) V =  (∂V /  ∂x i + ∂V /  ∂y j +  ∂V /  ∂z k) 

 

 

3.3 벡터 A' 의 발산 div A'

 

1) 어떤 임의의 벡터 A'가 외부로 발산되어 나가는 성질을 구할 때 사용되는 미분법이다.

 

2)

 

div A'

 

= ∇ A'

 

=  (∂ /  ∂x i + ∂ /  ∂y j +  ∂ /  ∂z k) * (Ax i + Ay j + Az K)

 

=  (∂ Ax /  ∂x i + ∂ Ay /  ∂y j +  ∂ Az /  ∂z k) 

 

 

3.4 벡터 A' 의 회전 rot A'

 

1) 어떤 임의의 벡터 A'가 임의의 경로를 회전할 때 사용되는 미분법이다.

 

2)

 

rot A'

 

= ∇ * A'

 

=  (∂ /  ∂x i + ∂ /  ∂y j +  ∂ /  ∂z k) x (Ax i + Ay j + Az K)

 

= [i           j          k        ]

   [ ∂ / ∂x  ∂ / ∂y   ∂ / ∂z  ]

   [Ax       Ay       Az      ]

 

=  (∂ Ax / ∂y  - ∂ Ay / ∂z) i  +   (∂ Az / ∂x  - ∂ Ax / ∂z) j  +   (∂ Ay / ∂x  - ∂ Az / ∂y) k

 

 

4. 벡터의 적분

 

4.1 스토크스 (Stokes)의 정리

 

1) 선 적분을 면적 적분으로 변환할 때 사용하는 적분법이다.

 

2) 선을 회전시키면 면적을 구할 수 있다는 원리를 적용한 것이다.

 

3) 선 적분 -> 면적 적분 변환 공식

 

 ∫ A' dl =  ∫ rot A' ds

 

4.2  가우스의 발산 정리

 

1) 면적 적분을 체적 적분으로 변환할 때 사용하는 적분법이다.

 

2) 면적에서 에너지를 외부로 발산시키면 체적을 구할 수 있다는 원리를 적용한 것이다.

 

3) 면적적분을 체적적분으로 변환하는 공식

 

 ∫ A' ds =  ∫ div A' dv