1. 정전 용량 (capacitance)
1.1 정전용량의 정의
1) 어느 도체에서 전ㄴ위를 가하면 전기 에너지(전하)를 축적시키는 성질을 가진 소자를 정전 용량 또는 커패시턴스라 한다.
2) 기호로서 C라 쓰고 단위로는 [F] 패럿을 사용한다.
1.2 정전 용량에 전하를 축적시킬 때의 전기량
1) 전하 Q = CV [C]
2) 정전용량 C = Q/V [F]
3) 엘라스턴스 (elastance)
l = 1/C = V/Q [1/F] (정전 용량의 역수)
2. 정전 용량의 종류
2.1 구도체
1) 구도체 표면의 전위 V = Q / 4 pi ε0 a [V]
2) 구 도체의 정전 용량 C = Q / V = Q / Q / 4 pi ε0 a = 4 pi ε0 a [F]
2.2 동심구 도체
1) a~b 사이의 전위차
V = ∫a~b Q / 4 pi ε0 r^2 dr = Q / 4 pi ε0 [-1/r]a~b = Q / 4 pi ε0 (1/a - 1/b) [V]
2) 동심구 도체의 정전 용량
C = Q/V = Q / ( Q / 4 pi ε0 (1/a - 1/b) ) = 4 pi ε0 / (1/a - 1/b) = 4 pi ε0 a b / (b -a) [F]
2.3 평행판 콘덴서
1) 평행판 사이의 전계 세기
E = ρs / ε0 [V/m]
2) 평행판 사이의 전위차
V = Ed = ρs d / ε0 [V/m]
3) 평행판 도체의 정전 용량
C = Q/V = ρs S / ρs d / ε0 = ε0 S / d [F]
2.4 동심 원통 (동축 케이블) 도체
1) 동심 원통에서 임의의 지점에서의 전계 세기
E = ρl / 2 pi ε0 r [V/m]
2) 동심 원통 사이의 전위차
V = ∫a~b ρl / 2 pi ε0 r dr = ρl / 2 pi ε0 ln(b/a) [V]
3) 동심 원통 도체의 정전 용량
C = Q/V = ρl L / (ρl / 2 pi ε0 ln (b/a) ) = 2 pi ε0 l / ln (b/a) [F]
2.5 평행 도선
C = pi ε0 l / ln (D/r) [F]
3. 전위 계수, 용량 계수, 유도 계수
3.1 전위 계수
1) 두 도체구에서의 전위
V1 = V11 + V12 = Q1 / (4pi ε0 a) + Q2 / (4pi ε0 r)
V2 = V21 + V22 = Q1 / (4pi ε0 r) + Q2 / (4pi ε0 b)
V1, V2 : x 도체와 y 도체에 각각 유기되는 전체 전위 [V]
V11, V22 : x 도체와 y도체의 자기 전하량에 의해 유기되는 각각의 전위 [V]
V12: y 도체의 전하 Q2에 의해 x 도체에 유기되는 전위 [V]
V21: x 도체의 전하 Q1에 의해 y 도체에 유기되는 전위 [V]
2) 앞 식에서 전하 Q1, Q2 를 제외한 나머지 값을 상수로 취급하여 식을 구한다.
V1.= Q1 / (4pi ε0 a) + Q2 / (4pi ε0 r) = P11 Q1 + P12Q2 [V]
V2 .= Q1 / (4pi ε0 r) + Q2 / (4pi ε0 b) = P21 Q1 + P22Q2 [V]
여기에서 P11, P12, P21, P22를 전위 계수라 한다.
3) 전위 계수의 성질
P11, P22 > 0
P12, P21 >= 0
P12 = P21
P11, P22 >= P12, P21
3.2 용량 계수 및 유도 계수
1) 전위 계수 식을 다시 정리하여 전하 Q에 대한 식으로 표현
Q1 = q11 V1 +q21 V2 [C]
Q2 = q21 V1 +q22 V2 [C]
2) 위 식에서 q11, q22를 용량계수, q12, q21을 유도 계수라 한다.
3) 용량 계수와 유도 계수의 성질
q11, q22 > 0
q12, q21 <= 0
q12 = q21
q11, q22 > = q12, q21
4. 정전 용량 회로의 계산 방식
4.1 정전 용량의 합성
1) 직렬 합성
1.1) 2개의 정전 용량 값이 다른 경우
C = C1 * C2 / (C1 + C2) [F]
1.2) 2개의 정전 용량 값이 같은 경우
C = C1/2 = C2/2 [F]
2) 병렬 합성
2.1) 2개의 정전 용량 값이 다른 경우
C = C1 + C2 [F]
2.2) 2개의 정전 용량 값이 같은 경우
C = 2 C1 = 2 C2 [F]
4.2 정전 용량의 전압 분배의 법칙 적용 방법
V1 = C2 / (C1 + C2) V [V]
V2 = C1 / (C1 + C2) V [V]
4.3 정전 용량의 전류 분배의 법칙 적용 방법
I1 = C1 / (C1 + C2) V [A]
I2 = C2 / (C1 + C2) V [A]
정전용량에서의 합성 방법이나 전압 분배의 법칙 및 전류 분배법칙은 저항 R회로와는 정반대로 됨을 알 수 있다.
5. 저장 에너지
5.1 콘덴서에 저장되는 에너지
1) 어느 지점에서 다른 지점으로 전하가 이동하는 데 필요한 에너지 W = Q V [J]
2) 콘덴서에 저장되는 에너지
W = 1/2 CV^2 = 1/2 QV = Q^2 / 2C [J]
5.2 유전체에 저장되는 에너지
1) 평행판 사이의 전계
E = ρs / ε0 [V/m]
2) 평행판 사이의 전위차
V = Ed = ρs d / ε0 [V/m]
3) 평행판 사이의 정전 용량
C = ε0 S / d [F]
4) 전계(유전체) 내에 축적되는 에너지
W = 1/2 C V^2 = 1/2 * ε0 S / d * ( ρs d / ε0 )^2 = ρs ^2 / 2 ε0 v [J]
v: 체적 v = Sd [m^3]
따라서 단위 체적당 축적되는 에너지 밀도는
w = W / v = ρs ^2 / 2 ε0 = D^2 / 2 ε0 = 1/2 ε0 E^2 = 1/2 E D [J/m^3]
5) 정전 흡인력 (단위 면적당 받는 힘) : 평행판 콘덴서에 에너지가 축적이 되면 평행판은 +와 - 전하밀도에 의해서 단위 면적당 다음과 같은 흡인력이 발생한다.
F = D^2 / 2 ε0 = 1/2 ε0 E^2 = 1/2 E D [N/m^2]
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