6. 전기자기학 > 6.2 진공 중의 정전계 2/2

5. 전기력선

 

5.1 전기력선의 정의

 

1) 쿨롱의 법칙에서 어떤 도체에 전하를 가했을 때 그 도체에는 정전력이 존해한다는 사실을 알게 되었다. 

 

2) 이러한 어떤 물체에 작용하는 정전력 (전기력)을 가상으로 그린 선을 전기력선이라 한다.

 

5.2 전기력선의 성질

 

1) 전기력선은 반드시 정(+)전하에서 나와서 부(-)전하로 들어간다.

 

2) 전기력선은 반드시 도체 표면에 수직으로 출입한다.

 

3) 전기력선끼리는 서로 반발력이 작용하여 교차할 수 없다.

 

4) 전기력선은 조체에 주어진 전하가 도체 표면에만 분포한다. (도체 내부에는 전하가 존재할 수 없다)

 

5) 전기력선은 그 자신만으로는 폐곡선을 이룰 수 없다.

 

6) 전기력선의 방향은 그 점의 전계의 방향과 일치한다.

 

7) 전기력선의 밀도는 전계의 세기와 같다

 

8) 전기력선은 등전위면과 수직이다.

 

9) 전기력선은 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향한다. 

 

10) Q[C] 의 전하에서 나오는 전기력선의 개수는 Q/ ε0

 

 

 

5.3 전기력선의 방정식

 

1) 어떤 전하에서 나오는 전기력선을 표현한 방정식이다.

 

2) x, y, z 축으로 나오는 전기력선 표현 방정식

 

dx/Ex = dy/Ey = dz/Ez

 

Ex, Ey, Ez : x, y, z 방향의 전계 세기

 

dx, dy, dz: x, y, z 방향의 미소 거리

 

 

6. 전속 및 전속 밀도

 

6.1 전속

 

1) 전속의 정의: 전기력선의 묶음을 전속이라고 하며 임의의 폐곡면 내에 존재하는 전하량 Q[C] 만큼 존재한다. 전속의 기호는 Ψ 프시라고 표현하며 단위는 [C] 쿨롱을 사용한다.

 

2) 전속의 성질: 전속은 공기 중에서든 어떤 유전체 내에서든 Ψ = Q [C] 으로서 매질 상수 (유전율)와는 관계없다.

 

6.2 전속밀도

 

1) 전속 밀도의 정의

 

1.1) 말 그대로 전속의 밀도로서 단위 면적당 전속의 수를 말한다.

 

1.2) 전속 밀도의 기호는 D라고 표현하며 단위는 [C/m^2]

 

2) 전속 밀도 계산

 

전속선은 반기름 r[m] 를 갖는 구 표면을 통하여 사방으로 퍼져 나가므로 이를 수식으로 정리하면 아래와 같다. 

 

D = Ψ / S = Q / S = Q / 4 pi r^2  [C/m^2]

 

따라서 전속 밀도와 전계의 세기와의 관계는 

 

D = ε0 E = ε0 * Q /  4 pi ε0  r^2  = Q / 4 pi r^2  [C/m^2] 로서 전계의 세기와는 다르게 주위 매질 상수 (유전율)와는 관계가 없음을 알수 있다. 

 

7. 가우스의 법칙

 

7.1 가우스 법칙의 정의

 

1) 임의의 폐곡면 S를 관통하는 전기력선의 총수는 그 폐곡면 내에 존재하는 전하량 Q의 1/ ε0 배와 같다.

 

2) 가우스 법칙을 대칭적인 전하 분포 (전하의 밀도 분포는 균일)일 경우에 전계의 세기를 구하는 데 유용한 법칙이다.

 

7.2 가우스 법칙을 이용한 전계의 세기 산출 예

 

1) 점(구) 전하 Q [C] 에서 발산되는 전계의 세기

 

1.1) 가우스 법칙의 정의에 의하면 

 

∮ E ds = E*S = Q / ε0

 

1.2) 위 식에서 점 전하로 부터 r [m] 떨어진 지점에서의 폐곡면의 면적은 S =  4 pi r^2 [m^2]

 

1.3) 따라서 점 전하로 부터 r [m] 떨어진 지점에서의 전계의 세기는 

 

E * 4 pi r^2 = Q / ε0

 

E =  Q / 4 pi ε0 r^2 = 9 * 10^9 Q / r^2 [V/m]

 

진공유전율 ε0 = 8.854 * 10^-12 [F/m]

 

2) 직선 전하 밀도에서 발산되는 전계의 세기

 

2.1) 가우스 법칙의 정의에 의하면 

 

∮ E ds = Q / ε0 

 

E*S =  λ l / ε0

 

2.2) 위 식에서 직선 전하로 부터 r [m] 떨어진 지점에서의 폐곡면의 면적은 S =  2 pi r l [m^2]

 

2.3) 따라서 직선 전하로 부터 r [m] 떨어진 지점에서의 전계의 세기는 

 

E * 2 pi r l =   λ l / ε0

 

E =  λ  / 2 pi ε0 r = 18 * 10^9 λ / r [V/m]

 

 

7.3 가우스 법칙의 공식 정리

 

1) 가우스 법칙의 기본형

 

1.1) 전기력선의 수 N =  ∫ E ds = Q / ε0

 

1.2) 전속선의 수 Ψ = ∫ D ds = Q

 

1.3) 전기력선의 수는 유전율과 반비례, 전속선의 수는 유전율과 무관한 성질을 가지고 있다. 

 

2) 가우스 법칙의 미분형

 

2.1) 전기력선의 수 div E = ρv / ε0

 

2.2) 전속선의 수 div D = ρv

 

 

8. 전위 및 전위차

 

8.1 전위

 

1) 전위의 정의

 

1.1) 어느 전계가 존재하는 공간에서 단위 정전하 (+1[C])  를 무한하게 먼 곳 ( r = 무한대) 위치에서 임의의 관측 지점까지 전계의 방향과 역으로 이동시키는 데 필요한 전기 에너지를 말한다.

 

1.2) 전위 기호로서 V로 표시하고 단위는 [V] 볼트를 사용한다.

 

2) 전위 구하는 공식

 

2.1) 기본식

 

V = -  ∫ ∞~r Edr =  ∫ r~ ∞ Edr [V]

 

2.2) 점(구) 전하의 전위

 

V =   ∫ 0~ ∞ Edr = Er = Q / 4 pi ε0 r^2   * r =  Q / 4 pi ε0 r  [V]   (V = Er [V])

 

8.2 전위차

 

1) 전위차의 정의

 

1.1) 어느 임의의 두 지점 A, B에서의 각각의 전위가 VA, VB일 때 이 두 지점 간의 전위차를 말한다.

 

1.2) 전위차는 기호로서 VAB로 표시하고 단위는 [V] 볼트를 사용한다.

 

2) 전위차 구하는 공식

 

2.1) 기본식

 

VAB = VA - VB = -  ∫ B~A Edr = ∫  A~B Edr [V]

 

2.2) 점(구) 전하에서 두 A, B 지점 간의 전위차

 

V = ∫  A~B Edr = Q / 4 pi ε0 r2 - Q / 4 pi ε0 r1 =  Q / 4 pi ε0 (1/r2 - 1/r1) [V]

 

8.3 전위 경도 (전위의 기울기)

 

1) 전위 경도의 정의

 

어느 전계가 존재하는 공간에서 두 점 간의 전위차를 그 거리로 나눈 것을 말한다. 전위 경도의 값은 결국 전계의 세기와 같게 된다. 전위 경도는 기호로서 g로 표시하고 단위는 [V/m] 를 사용한다.

 

2) 전위 경도의 계산 공식

 

2.1) 전위 경도는 전계와 크기는 같고 방향은 반대이다.

 

2.2) 전위 경도 공식

 

g = E = -grad V = -  ∇ V

 

= -  (∂/∂x i + ∂/∂y j + ∂/∂z k) V

 

= -  ∂V/∂x i - ∂V/∂y j - ∂V/∂z k [V/m]

 

 

9. 전기 쌍극자 및 전기 이중층

 

9.1 전기 쌍극자

 

1.1) 전기 쌍극자의 정의: 크기는 같고 부호가 반대인 2개의 점전하가 매우 근접하여 미소한 거리 δ [m] 만큼 떨어져 존재하는 상태의 전하를 말한다. 이 때 전기 쌍극자를 이루는 쌍극자 모멘트는 M = Q δ [Cm] 로 나타낸다.

 

1.2) 전기 쌍극자의 전계 세기 및 전위

 

E =  M / 4 pi ε0 r^2    root ( 1 + 3 cos^2 θ ) [V/m]

 

V = M / 4 pi ε0  cos θ [V]

 

δ: 두 점 전하 간의 미소 거리 [m]

 

r: 쌍극자 중심에서 어느 임의의 지점 간의 거리 [m]

 

θ: 쌍극자 평행선과 임의의 지점이 이루는 각 [도]

 

9.2 전기 이중층

 

1) 전기 이중층의 정의 

 

정(+) 전하와 부(-) 전하가 매우 짧은 거리를 두고 마주보면서 분포된 상태를 전기 이중층이라고 한다. 이때 전기 이중층을 이루는 전기 이중층의 세기는 M = ρs δ [C/m] 로 나타낸다.

 

2) 전기 이중층의 전위

 

V = M / 4 pi ε0   w

 

= M/2 ε0 ( 1 - r / root (a^2 + r^2) ) [V]

 

w: 입체각 w = 2 pi ( 1 - cos θ ) [sr]

 

ρs: 면전하 밀도 [C/m^2]